한 줄의 실선 위에서만 좌우로 움직일 수 있다고 상상해 보세요. 이것이 실수축 세계입니다. 위로 점프하고 싶다면, 그 줄은 당신을 감당할 수 없습니다. 여기서 복소수를 도입하는 것은 마치 당신의 세계에 새로운 차원을 추가하는 것입니다.복소수각각 $z = a + bi$ 형태의 복소수는 더 이상 수선 위의 한 점이 아니라, 평면 위의 좌표 $(a, b)$ 또는 원점에서 발사된 벡터로 해석될 수 있습니다. 이 ‘수’와 ‘형’ 사이의 완벽한 대응은 수학사상 가장 중요한 도약 중 하나입니다.
복소수의 대수적 정의와 기하학적 대응
선택적 필수 제1권에서는 복소수 체계를 배웠습니다. 복소수는실부분그리고허부분으로 구성되며, 표준적인 대수적 표현은 $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$)입니다.
복소수를 직관적으로 이해하기 위해 우리는복소평면를 도입했습니다:
- 실축은 $x$ 축과 대응하며, 복소수의 실부분을 나타냅니다.
- 허축은 $y$ 축과 대응하며, 복소수의 허부분을 나타냅니다.
- 점과 복소수은 복소수 $z = a + bi$와 점 $Z(a, b)$ 사이에 일대일 대응 관계를 형성합니다.
- 벡터와 복소수은 복소수 $z = a + bi$와 평면 벡터 $\vec{OZ}$ 사이에 일대일 대응 관계를 형성합니다.
복소수의 크기 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 는 복소평면에서 점 $Z$ 가 원점과의 거리를 의미합니다. 또한 $|z_1 - z_2|$ 는 두 점 사이의 거리를 나타냅니다.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$